南昌市2008-2009學(xué)年度高三測(cè)試卷數(shù)學(xué)(4

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(理)若集合,則(    ).

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A.       B.     C.       D.

(文)設(shè)f:x→x2是集合A到集合B的映射,如果B={1,3},則A∩B等于(    ).

A.{1}   B.    C.或{1}    D.或{3}

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2.若為圓的弦的中點(diǎn),則直線的方程為(     ).

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 A.        B.   C.    D.

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3.在等比數(shù)列{an}中,a5a4、a6成等差數(shù)列,則公比q等于       (    )

       A.1或2                 B.-1或-2           C.1或-2               D.-1或2

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4.實(shí)數(shù)滿足的值為(    ).

      A.6                   B.6或-6           C.10         D.不確定

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5.已知正方體ABCD―A1B1C1D1中,點(diǎn)M、N分別是在AB1、BC1上,且AM=BN,下列四個(gè)結(jié)論:

①AA1⊥MN;②A1C1//MN;③MN//平面ABCD;④MN、AC為異面直線,其中正確的結(jié)論為(  )

     A.1個(gè)                     B.2個(gè)                    C.3個(gè)                    D.4個(gè)

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6.若多項(xiàng)式,則的值為(    )

A. -2009     B.  2009     C. -2008     D. 2008

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7.在100,101,102,…,999這些數(shù)中各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增(如“145”)或嚴(yán)格遞減(如 “321”)順序排列的數(shù)的個(gè)數(shù)是(     ).

?  A.120                 B.168                        C.204                        D.2163

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8.(理)對(duì)于使成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值1叫做 的上確界,若a,b為正實(shí)數(shù),且,則的上確界為(    ).

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A.            B.         C.           D.-4

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(文)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)點(diǎn)滿足,則的最大值為( 。.

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                         不存在

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9. (理)如果隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=4,則P(-1<ξ≤1 )等于(    ).

A.2Φ(1)-1         B.Φ(2)-Φ(1)           C.Φ(1)-Φ(2)          D.Φ(-2)-Φ(-1)

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(文)設(shè).在右圖所示的正方形內(nèi)(包括邊界),整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為

整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是(   )

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10.(理)已知向量a=(1,1), b=(1,0), c滿足a? c=0且|a|=|c|, b?c>0,若映射

f:(x,y)→(x′,y′) =xa+yc,則在映射f下,向量(cosθ,sinθ)(其中θ∈R)的原象的模為(     ).

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A.              B. 1           C.                       D.

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(文)若,則的最大值是(    )

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(A)            (B)                 (C)                  (D)

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11.函數(shù)的圖象大致是                                                                 (     )

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A.              B.             C.                D.

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12.(理)函數(shù)滿足:對(duì)一切

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時(shí),(     )

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A.           B.         C.    D.  

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(文)已知偶函數(shù),則方程

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   的解的個(gè)數(shù)為                                                                            (     )

       A.6                        B.7                        C.12                      D.14

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二、填空題:(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題目中的橫線上。)

13.(理)設(shè)a、b∈R,n∈N*a+2i=,則=_______.

 (文) 函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分?jǐn)?shù)值如下:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

-80

-24

0

4

0

0

16

60

144

296

則函數(shù)y=lgf(x)的定義域?yàn)開(kāi)__________.

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14.為了了解“預(yù)防禽流感疫苗”的使用情況,某市衛(wèi)生部門對(duì)本地區(qū)9月份至11月份使用疫苗的所有養(yǎng)雞場(chǎng)進(jìn)行了調(diào)查,根據(jù)下列圖表提供的信息,可以得出這三個(gè)月本地區(qū)每月注射了疫苗的雞的數(shù)量平均為      萬(wàn)只.

月份

養(yǎng)雞場(chǎng)(個(gè)數(shù))

9

20

10

50

11

100

 

 

 

 

 

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15.已知正四面體S―ABC中,點(diǎn)E為SA的中點(diǎn),點(diǎn)F為△ABC的中心,則異面直線EF、AB所

成的角為      .

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16.(理)已知m、n、s、t為正實(shí)數(shù),m+n=2,+=9,其中m、n是常數(shù),且s+t的最小值為,滿足條件的點(diǎn)(m,n)是橢圓+=1一弦的中點(diǎn),則此弦所在的直線方程為             .

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 (文)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)作與軸垂直的直線與橢圓相交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線軸相交于點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為         .

 

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三、解答題:(本大題共6小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17、(本題滿分12分)

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已知,將的圖象向左平移,再向上平移2個(gè)單位

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后圖象關(guān)于對(duì)稱.

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(I)求實(shí)數(shù)a,并求出取得最大值時(shí)x的集合;

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(II) 求的最小正周期,并求在[上的值域.

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)

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數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,若.

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(I)若數(shù)列{+c}成等比數(shù)列,求常數(shù)c的值;

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(II)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;

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(Ⅲ)數(shù)列{}中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

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19.(本小題滿分12分)

(理)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)黑球,乙袋中有5個(gè)白球和4個(gè)黑球,現(xiàn)在從甲、乙兩袋中各取出2個(gè)球。

(I)求取得的4個(gè)球均是白球的概率;

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(II)求取得白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

(文) 美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)2008年全球金融動(dòng)蕩,波及中國(guó)兩大股市,甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之際“抄底”(在低位處買入)。若三人商定在圈定的10只股票中各自隨機(jī)購(gòu)買一只(假定購(gòu)買時(shí)每支股票的基本情況完全相同)。

(I)求甲、乙、丙三人恰好買到同一只股票的概率;

(II)求甲、乙、丙三人中至少有兩人買到同一只股票的概率;

 

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20.(本小題滿分12分)如圖,在底面是菱形的四棱錐P―ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.

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 (I)證明:PA⊥平面ABCD;

 (II)求二面角E-AC-D的大;

 (Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF//平面AEC?

證明你的結(jié)論.

 

 

 

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21. (本小題滿分12分)F1、F2是雙曲線的左右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P在雙曲線左支上,點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上,且滿足:

   (I)求此雙曲線的離心率;

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   (II)若此雙曲線過(guò)N(2,),求雙曲線方程;

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   (Ⅲ)若過(guò)N(2,)的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為B1,B2(B1在y軸正半軸),點(diǎn)A、B在雙曲線上,且,求時(shí),直線AB的方程。

 

 

 

 

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22.(本題滿分14分)

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(理科)已知函數(shù).

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(I)的根,β是方程xex =2009的根,求αβ的值。                                                                       

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(II)求證:在區(qū)間(1,)上,函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方;

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(Ⅲ)設(shè)函數(shù),求證:.                

(文科)已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2cosθ+,其中x∈R,θ是參數(shù),且0≤θ≤.

(I)當(dāng)cosθ=0時(shí),判斷函數(shù)f(x)是否有極值;

(II)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零,求參數(shù)θ的取值范圍;

(Ⅲ)若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1,a)內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B

理D 文B

D

理D 文C

二.填空題

13.(理)-1;(文) (-1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

15. ;                                     16. (理)x+2y-3=0; (文).

三.解答題

17.  解:(I)平移以后得

,又關(guān)于對(duì)稱

, *,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值,

所以,取得最大值時(shí)的集合為.…………6分

(II)的最小正周期為;

,在[上的值域?yàn)?sub>.…………12分

18.解:(I)當(dāng)n∈N時(shí)有:=2-3n,   ∴=2-3(n+1),

兩式相減得:=2-2-3   ∴=2+3! 撤

+3=2(+3)。

=2-3,   ∴=3, +3=6≠0   ……4分

∴數(shù)列{+3}是首項(xiàng)6,公比為2的等比數(shù)列.從而c=3.  ……6分

 (II)由(1)知:+3=,  ∴-3.    ………8分

(Ⅲ)假設(shè)數(shù)列{}中是否存在三項(xiàng),,,(r<s<t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,

<<,   ∴只能是=2,

∴(-3)+(-3)=2(-3)

.∴1+. 

 ∵r<s<t,r、s、t均為正整數(shù),∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù),不可能成立.

因此數(shù)列{}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng).  ………12分

19. (理)解:設(shè)從甲袋中取出個(gè)白球的事件為,從乙袋中取出個(gè)白球的事件為其中=0,1,2,則,.

(I),,

所以………………………..6分

(II)分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19.(I)三人恰好買到同一只股票的概率。  ……4分

(II)解法一:三人中恰好有兩個(gè)買到同一只股票的概率.……9分

由(I)知,三人恰好買到同一只股票的概率為,所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。  ……12分

 

20.證明:(I)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,

所以AB=AD=AC=a,  在△PAB中,

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框:  (II)解法一:作EG//PA交AD于G,

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H,連結(jié)EH,則EH⊥AC,∠EHG即為二面角的

平面角,設(shè)為.

又PE : ED=2 : 1,所以

從而    ……………7分

解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD、AP分別為y軸、

z軸,過(guò)A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以 設(shè)二面角E-AC-D的平面角為,并設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量是

平面ACD的一個(gè)法向量取,……………7分

(Ⅲ)解法一:設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn),如上述方法建立坐標(biāo)系.

       令  , 得

解得      即 時(shí),

亦即,F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí),、共面.

又  BF平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF//平面AEC…………12分

    1. <dfn id="kp9a8"></dfn>

      <address id="kp9a8"></address>

      (證法一) 取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM//CE.  ①

      由   知E是MD的中點(diǎn).

      連結(jié)BM、BD,設(shè)BDAC=O,則O為BD的中點(diǎn).

      所以  BM//OE.  ②

      由①、②知,平面BFM//平面AEC.

      又  BF平面BFM,所以BF//平面AEC.

      (證法二)因?yàn)?nbsp;

               

      所以  、、共面.又 BF平面ABC,從而B(niǎo)F//平面AEC. ……12分

       

      21.解:(I)

      ,又 ,

       ,

                                       …… 4分

      (II)

      ,其過(guò)點(diǎn) 

                                           …… 7分

      (Ⅲ)由(2)知、

      、  

       

      ①當(dāng)。

      ②當(dāng)時(shí),

       

      所以直線AB的方程為                       …… 12分

      22.(理科)(Ⅰ)由已知條件代入,數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點(diǎn)為A(α,),y=ex與y=的交點(diǎn)為B(β,);由KAB= ―1,易知αβ=2009           …………4分

      (Ⅱ)設(shè)=,則

      在區(qū)間(1,)上是減函數(shù)    又∵

      ,即,

      ∴在區(qū)間(1,)上,函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方         …9分

      (Ⅲ)當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,不等式成立;

      當(dāng)時(shí),

                   =

      由已知,  ∴

      .                  ………………………………14分

      (文科)解:(Ⅰ)當(dāng)cosθ=0時(shí),函數(shù)f(x)=4x3+在R上遞增,故無(wú)極值. …3分

      (Ⅱ)函數(shù)f(x)=12x2-6xcosθ,令f(x)=0,得x=0或x=cosθ

      由于0≤θ≤及(1)結(jié)論,f極小(x)=f(cosθ)=-cos3θ+>0,

      ∴0<cosθ<,而0≤θ≤,∴θ的取值范圍是(,)。…7分

      (Ⅲ)f(x)在區(qū)間(2a-1,a)是增函數(shù),則或,

      由得 a≤0,又∵θ∈(,),∴要使2a-1≥恒成立,

      即要2a-1≥,即a≥,由,得≤a<1,

      ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪[,1) …14分


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