2．

說明：求導其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是能夠順利求導的關鍵，因此必須深刻理解導數(shù)的概念．

證明函數(shù)的在一點處連續(xù)

例 　證明：若函數(shù)在點處可導，則函數(shù)在點處連續(xù)．

分析：從已知和要證明的問題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明在點處連續(xù)，必須證明．由于函數(shù)在點處可導，因此，根據(jù)函數(shù)在點處可導的定義，逐步實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化，一個是趨向的轉(zhuǎn)化，另一個是形式(變?yōu)閷��?shù)定義形式)的轉(zhuǎn)化．

解：證法一：設，則當時，，

∴函數(shù)在點處連續(xù)．

證法二：∵函數(shù)在點處可導，

∴在點處有

∴∴函數(shù)在點處連續(xù)．

說明：對于同一個問題，可以從不同角度去表述，關鍵是要透過現(xiàn)象看清問題的本質(zhì)，正確運用轉(zhuǎn)化思想來解決問題．函數(shù)在點處連續(xù)，有極限以及導數(shù)存在這三者之間的關系是：導數(shù)存在連續(xù)有極限．反之則不一定成立．證題過程中不能合理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而直接理解為是使論證推理出現(xiàn)失誤的障礙．

2．求函數(shù)(a、b為常數(shù))的導數(shù)．

分析：根據(jù)導數(shù)的概念求函數(shù)的導數(shù)是求導數(shù)的基本方法，確定函數(shù)在處的導數(shù)有兩種方法，應用導數(shù)定義法和導函數(shù)的函數(shù)值法．

解：1．解法一(導數(shù)定義法)：，

解法二(導函數(shù)的函數(shù)值法)：，

∴

3．(含)，

∴

故選A．

說明：概念是分析解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題，不能準確分析和把握給定的極限式與導數(shù)的關系，盲目套用導數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類問題的關鍵就是等價變形，使問題轉(zhuǎn)化．

利用定義求導數(shù)

例　 1．求函數(shù)在處的導數(shù)；

2．原式＝

3．若，則等于(　 )

A．－1　 B．－2　 C．－1　 D．

分析：在導數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應的形式．利用函數(shù)在點處可導的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構形式．

解：1．原式＝

2．

1．；

2．

兩邊都是關于x的可導函數(shù)，求導得

，

令，得，

即

說明：通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題獲得解決，其關鍵是抓住了數(shù)列通項的形式結(jié)構．學生易犯的錯誤是受思維定式的影響不善于聯(lián)想．

2．

分析：問題分別可通過錯位相減的方法及構造二項式定理的方法來解決．轉(zhuǎn)換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和，利用導數(shù)運算可使問題解法更加簡潔明快．

解：1．當時，

當時，

，

兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得

，

即

1．