如圖，已知△ABC、△DCE、△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB＝，BC＝1．連結(jié)BF，分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、R．

(1)求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長(zhǎng)；

(2)觀察圖形，請(qǐng)你提出一個(gè)與點(diǎn)P相關(guān)的問題，并進(jìn)行解答(根據(jù)提出問題的層次和解答過程評(píng)分)．

在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1)，B(3，0)．

(1)若拋物線過A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)(0，－3)，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值；

(3)若對(duì)稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸正車軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與y軸交干點(diǎn)C，過C作CP∥x軸交l于點(diǎn)P，M為此拋物線的頂點(diǎn)．若四邊形PEMF是有一內(nèi)角為的菱形，求此拋物線的解析式．

在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)．由D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；設(shè)DE＝a，DF＝b，且實(shí)數(shù)a，b滿足9a²－24ab＋16b²＝0，并有2＝256⁶；∠A使得方程x²－x·sinA＋sinA－＝0有相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)試求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)試求線段BC的長(zhǎng)．

已知：如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)BC＝2AB，P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F，過P、F作直線l，交BC邊于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁位置時(shí)，直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)B此時(shí)直線的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的長(zhǎng)；

(2)設(shè)AP＝m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量m的取值范圍；

(3)以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種不同的位置關(guān)系？并求出AP相應(yīng)的取值范圍；

②當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5時(shí)，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系如何？并請(qǐng)說明理由．

小剛為書房買燈．現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦(即0.009千瓦)的節(jié)能燈，售價(jià)49元/盞；另一種是40瓦(即0.04千瓦)的白熾燈，售價(jià)18元/盞．假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達(dá)到2800小時(shí)．已知小剛家所在地的電價(jià)是每千瓦時(shí)0.5元．

(1)設(shè)照明時(shí)間是x小時(shí)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費(fèi)用和用一盞白熾燈的費(fèi)用；(注：費(fèi)用＝燈的售價(jià)＋電費(fèi))

(2)小剛想在這兩種燈中選購一盞．

①當(dāng)照明時(shí)間是多少時(shí)，使用兩種燈的費(fèi)用一樣多？

②試用特殊值判斷：

照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費(fèi)用低？

照明時(shí)間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費(fèi)用低？

(3)小剛想在這兩種燈中選購兩盞．

假定照明時(shí)間是3000小時(shí)，使用壽命是2800小時(shí)．請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一種費(fèi)用最低的選燈方案，并說明理由．

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝，AB＝4，BC＝6，AD＝8．點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒．

(1)動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？

(2)當(dāng)0＜t＜2時(shí)，求證：以PQ為直徑的圓與AD相切(如圖2)；

(3)以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由．

已知拋物線y＝(1－m)x²＋4x－3開口向下，與x軸交于A(x₁，0)和B(x₂，0)兩點(diǎn)，其中x₁＜x₂．

(1)求m的取值范圍；

(2)若＋＝10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線；

(3)設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)為C，延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(3，4)．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．

(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(________，________)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)試求△MPA面積的最大值，并求此時(shí)x的值；

(3)請(qǐng)你探索：當(dāng)x為何值時(shí)，△MPA是一個(gè)等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的研究成果．

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c與y軸相交于點(diǎn)C(0，1)，x₁，x₂是方程ax²＋bx＋c＝x的兩個(gè)根，且x₁＝－x₂．點(diǎn)A(x₁，0)在點(diǎn)B(x₂，0)的左邊，以AB為直徑的圓交y軸于C，D兩點(diǎn)．

(1)求拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式；

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于E點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交圓于F點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)；

(3)過D點(diǎn)作圓的切線交直線CB于點(diǎn)P，判斷點(diǎn)P是否在拋物線上說明理由．

三角形紙片ABC，∠C＝，AB＝2BC＝12．將紙片折疊使點(diǎn)A總是落在BC邊上，記為點(diǎn)D，EF是折痕，如圖．

(1)當(dāng)△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形時(shí)，求△DCF的面積；

(2)在BC邊上是否存在一點(diǎn)D，使以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以D，E，B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，說明理由．