在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC=BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）M為棱CC₁的中點(diǎn)，試證明：MB⊥AB₁．

如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)P在底面的射影O在DA的延長(zhǎng)線上，且OC過(guò)邊AB的中點(diǎn)E．
（1）證明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求三棱錐O-PAC的體積．

在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，sin²A，sin²B，sin²C也成等差數(shù)列，試判斷這個(gè)三角形的形狀．

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD，O為垂足，點(diǎn)M在SO上，且SM：MO=2：1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作與底面ABCD平行的平面α，分別交棱SA、SB、SC、SD于A₁、B₁、C₁、D₁
（1）求證：四邊形A₁B₁C₁D₁∽四邊形ABCD；
（2）求棱錐S-A₁B₁C₁D₁的體積與棱臺(tái)A₁B₁C₁D₁-ABCD的體積之比．

已知函數(shù)g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

α1

=

1 0

，

α2

=

0 1

（1）求矩陣A及逆矩陣A^-1
（2）若

β

=

1 16

，試求A¹⁰⁰

β

．

設(shè)（2x+1）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+a₆x⁶+a₇x⁷
（1）求第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)及含有x³的項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇值．

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=2，3a₂+2a₇=0，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=|

Sn

n

|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)比賽，決出第一名至第五名的名次．比賽之后甲乙兩位同學(xué)去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得冠軍”，對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．
（1）從上述回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同的情況？
（2）比賽組委會(huì)規(guī)定，第一名獲獎(jiǎng)金1000元，第二名獲獎(jiǎng)金800元，第三名獲獎(jiǎng)金600元，第四名及第五名沒(méi)有獎(jiǎng)金，求丙獲獎(jiǎng)金數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．