1．若方程x²－5x=0的一個根是a，則a²－5a+2的值為(    )．

   A．－2          B．0           C．2            D．4

2．如圖，⊙O的半徑OA等于5，半徑OC與弦AB垂直，垂足為

   D，若OD=3，則弦AB的長為(    )．

   A．10           B．8           C．6            D．4

3．將拋物線y=2x²經(jīng)過怎樣的平移可得到拋物線y=2(x+3)²+4？答：(    )．

   A．先向左平移3個單位，再向上平移4個單位

   B．先向左平移3個單位，再向下平移4個單位

  C．先向右平移3個單位，再向上平移4個單位

   D．先向右平移3個單位，再向下平移4個單位

4．小莉站在離一棵樹水平距離為a米的地方，用一塊含

   30°的直角三角板按如圖所示的方式測量這棵樹的高

   度，已知小莉的眼睛離地面的高度是1.5米，那么她

   測得這棵樹的高度為(    )．

  A．()米

   B．(a)米

   C．(1.5+)米

   D．(1.5+a)米

5．如圖，以某點為位似中心，將△AOB進行位似變換得到

   △CDE，記△AOB與△CDE對應邊的比為k，則位似中

   心的坐標和k的值分別為(    )．

   A．(0，0)，2

   B．(2，2)，

   C．(2，2)，2

   D．(2，2)，3

初三數(shù)學 第1頁（共4頁）

6．將拋物線y=x²+1繞原點O旋轉180°，則旋轉后的拋物線的解析式為(    )．

A．y=－x²           B．y=－x²+1          C．y=x²－1         D．y=x²－1

7．如圖，PA、PB與⊙O相切，切點分別為A、B，PA=3，

  ∠P=60°，若AC為⊙O的直徑，則圖中陰影部分的面

  積為(    )．

   A．        B．       C．     D．π

8．已知b>0時，二次函數(shù)y=ax²+bx+a²－1的圖象如下列四個圖之一所示．

根據(jù)圖象分析，a的值等于(    )．

   A．－2               B．－1             C．1              D．2

第Ⅱ卷(非機讀卷，共88分)

9．若△ABC∽△DEF，且對應邊BC與EF的比為2∶3，則△ABC與△DEF的面積

比等于　　　．

10．如圖，⊙O的直徑是AB，CD是⊙O的弦，若∠D=70°，

則∠ABC等于　　　．

11．如圖，∠ABC=90°，O為射線BC上一點，以點O

    為圓心，OB長為半徑作⊙O，將射線BA繞點B

    按順時針方向旋轉至BA＇，若BA＇與⊙O相切，則旋

    轉的角度α(0°＜α＜180°)等于　　　．

12．等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的長是關于x

的方程x²－10x+m=0的根，則m的值等于    ．

初三數(shù)學 第2頁(共4頁)

13．解方程：2x²－6x+1=0．

14．計算：－tan45°+sin²45°.

15．已知：關于x的方程x²+2x=3－4k有兩個不相等的實數(shù)根(其中k為實數(shù))．

    (1)求k的取值范圍；

    (2)若k為非負整數(shù)，求此時方程的根．

16．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠B=30°，

  延長BA到D，使∠BDC=30°．

  (1)求證：DC是⊙O的切線；

  (2)若AB=2，求DC的長．

17．已知：如圖，△ABC中，AB=2，BC=4，D為

    BC邊上一點，BD=1．

    (1)求證：△ABD∽△CBA；

    (2)若DE∥AB交AC于點E，請再寫出另一個與

      △ABD相似的三角形，并直接寫出DE的長．

18．已知：如圖，∠MAN=45°，B為AM上的一個定點．

    若點P在射線AN上，以P為圓心，PA為半徑的圓

    與射線AN的另一個交點為C．請確定⊙P的位置，使

    BC恰與⊙P相切．

    (1)畫出⊙P；(不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法)

    (2)連接BC、BP并填空：

    ①∠ABC=　　　　°；

    ②比較大�。骸螦BP　　　　∠CBP．(用“>”“<”或“=”連接)

19．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．

    (1)填空：拋物線的對稱軸為直線x=       ，拋物線與x軸的另一個交點D的

      坐標為       ；

    (2)求該拋物線的解析式．

20．已知：如圖，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC

    于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，

求EF的長．

初三數(shù)學 第3頁（共4頁）

21．某水果批發(fā)市場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場

    調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎上每漲價1元，日銷售量將減少20千克．

    (1)如果市場某天銷售這種水果盈利了6 000元，同時顧客又得到了實惠，那么每千克

      這種水果漲了多少元?

    (2)設每千克這種水果漲價x元時(0<x≤25)，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元．

      若不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟角度看，每千克這種水果漲價多少元時，市場每天

      銷售這種水果盈利最多?最多盈利多少元?

22．已知：如圖，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，

    D為AB延長線上一點，BD=1，點P在∠BAC的平分線

    上，且滿足△PAD是等邊三角形．

    (1)求證：BC=BP；

(2)求點C到BP的距離．

五、解答題(本題共22分,第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23．已知關于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b為實數(shù)．

    (1)若此方程有一個根為2a(a<0)，判斷a與b的大小關系并說明理由；

(2)若對于任何實數(shù)a，此方程都有實數(shù)根，求b的取值范圍．

24．已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°,∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延

長線于D，OC交AB于E．

(1)求∠D的度數(shù)；

(2)求證：AC²=AD?CE；

(3)求的值．               

25．已知：拋物線y=－x²－2 (a-1)x－ (a²－2a)與x軸交于點A(x₁，0)、

B(x₂，0)，且x₁<1<x₂．

    (1)求A、B兩點的坐標(用a表示)；

    (2)設拋物線的頂點為C，求△ABC的面積；

    (3)若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個動點(P點與A、B兩點不重合)，在x軸上方作

      等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點為Q，求拋物線的解析式及線段PQ

      的長的取值范圍．

   初三數(shù)學 第4頁(共4頁)

北京市西城區(qū)2008-2009學年度第一學期期末測試

              初三數(shù)學試卷答案及評分參考         2009．1

第I卷  (機讀卷　共32分)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

C

C

D

A

B

第Ⅱ卷  (非機讀卷　共88分)

題號

9

10

11

12

答案

4∶9

20°

60°或120°（各2分）

16或25（或2分）

13．解：因為a=2，b=－6，c=1，……………………………………………………………1分

        所以b²－4ac=(－6)²－4×2×1=28．………………………………………………2分

        代入公式，得x=…………………………………………………3分

                     ===．

        所以 原方程的根為 x₁=，x ₂=．（每個根各1分）……………5分

14．解：－tan45°+sin²45°．

       =………………………………………………………………………4分

       =．…………………………………………………………………………………5分

15．（1）解一：原方程可化為（x+1）²=4－4k．…………………………………………1分

              ∵該方程有兩個不相等的實數(shù)根，

              ∴4－4k＞0．………………………………………………………………2分

              解得k＜1．

              ∴k 的取值范圍是k＜1．…………………………………………………2分

解二：原方程可化為 x²+2x+4k－3=0．…………………………………………………1分

      Δ=2²－4(4 k－3)=4(4－k)．以下同解法一．

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第1頁(共6頁)

   （2）解：∵k為非負整數(shù)，k＜1，

∴k= 0．………………………………………………………………………4分

此時方程為x²+2x=3，它的根為x₁=－3，x₂=1．…………………………5分

16．(1)證明：連結OC．

∵OB=OC，∠B=30°，

∴∠OCB=∠B=30°．

∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．………………1分

∵∠BDC=30°，

∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．…………………………………………2分

∵BC是弦，

∴點C是⊙O的切線．………………………………………………………3分

        ∴點C是⊙O上,

        ∴點BC是⊙O的切線．

(2)解：∵AB=2，

∴OC=OB==1．……………………………………………………………4分

∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，

∴DC=OC=．……………………………………………………………5分

17．(1)證明：∵AB=2，BC=4，BD=1，

∴．………………1分

∵∠ABD=∠CBA，…………2分

∴△ABD∽△CBA．…………3分

(2)答：△ABD  ∽ △CDE  ；……………4分

      DE=  1.5   ．…………………5分

18．解：（1）圖形見右．…………………2分

       （2）①∠ABC=  45   °；…………3分

②∠ABP   ＜  ∠CBP．……4分

19．解：(1)?物線的對稱軸為直線x=  2   ?物線與x軸的另一個交點D的坐標為（3，0）；

                      ………………………………………2分

       (2) ∵?物線經(jīng)過點C（1，0）、D（3，0），

∴設?物線的解析式為y=a(x－1)( x－3) ．……4分

由?物線經(jīng)過點A（0，3），得a=1．……………5分

∴?物線的解析式為 y= x²－4 x+3．……………………………………………6分

20．∵AE⊥BC，EF⊥AB，

∴∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第2頁(共6頁)

∴∠1=∠B．………………………………………………………………………………1分

∵cos∠AEF=，

∴Rt△ABE 中，cosB=．…………………………2分

設BE=4k, 則AB=BC=5k，EC=BC－BE=k=2．

∴BE=8，………………………………………………………3分

∴Rt△BEF中，EF=BE?sinB=8×=．…………………………………………4分

21．解：(1)設市場某天銷售這種水果盈利了6 000元，同時顧客又得到了實惠時，每千克這

    種水果漲了x元．

    由題意得(10+x)(500－20x)=6 000．………………………………………………1分

          整理，得x²－15x+50=0．

    解得   x₁=5，x ₂=10．……………………………………………………………2分

          因為顧客得到了實惠，應取x=5．………………………………………………3分

          答：市場某天銷售這種水果盈利6 000元，同時顧客又得到了實惠時，每千克這

    種水果漲了5元．

       (2)因為每千克這種水果漲價x元時，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元，

         y關于x的函數(shù)解析式為y=(10+x)(500－20 x) (0< x≤25)．……………………4分

         而y=(10+x)(500－20x)=－20x²+300x+5 000=－20(x －7.5)²+6 125．

    所以，當x =7.5時(0<7.5≤25)，y取得最大值，最大值為6 125．……6分

         答：不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元時，市場

    每天銷售這種水果盈利最多，最多盈利6 125元．

22．(1)證明：如圖1，連結PC．……………………………………………………………1分

       ∵AC=1，BD=1，∴AC=BD．

    ∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC，

    ∴∠1=∠BAC，∠D=60°．

    ∵△PAD是等邊三角形，

    ∴PA=PD，∠D=60°．

    ∴∠1=∠D．

    ∴△PAC≌△PDB………………………………………………………………2分

    ∴PC=PB，∠2=∠3．

    ∴∠2+∠4=∠3+∠4，  ∠BPC=∠DPA=60°．

    ∴△PBC是等邊三角形， BC=BP………3分

證法二：作BM∥PA交．PD于M，證明△PBM≌△BCA．

(2)解法一：如圖2，作CE⊥PB于E，  PF⊥AB于F．

   ∵AB=3，BD=1，  ∴AD=4．

   ∴△PAD是等邊三角形，PF⊥AB，

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第3頁(共6頁)

            ∴DF=AD=2，PF=PD?sin60°=．

∴BF=DF－BD=1, BP=………………………………4分

∴CE=BC?sin60°=BP?sin60°=×=．…………………5分

即點C至BP的距離等于．

     解法二：作BN⊥DP于N，DN=，NP=DP－DN=，BN=，BP==

以下同解法一．

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）

23．解：（1）∵方程x²－2ax－a+2b=0有一個根為2a，

∴4a²－4 a²－a+2 b=0．…………………………………………………………1分

整理，得b=．………………………………………………………………2分

∵a＜0,∴a＜，即a＜b．…………………………………………………3分

（2）Δ=4a²－4（－a+2 b）=4a²+4a－8b．………………………………………4分

∵對于任何實數(shù)a，此方程都有實數(shù)根，

∴對于作何實數(shù)a，都有4a²+4a－8b≥0，即a²+a－2b≥0，……………5分

∴對于任何實數(shù)a，都有b≤．

∵=(a+)²－，

當a=－時，有最小值－．……………………………………6分

∴b的取值范圍是b≤－．…………………7分

24．（1）解：如圖3，連結OB．……………………………1分

            ∵⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°．

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=45°．

∵AD∥OC，

∴∠D=∠OCB=45°．……………………………………………………2分

   （2）證明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，

  ∴∠BAC=∠D．…………………………………………………………3分

  ∵AD∥OC，

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第4頁(共6頁)

            ∴∠ACE=∠DAC．………………………………………………………………4分

∴△ACE∽△DAC．

∴．

∴AC²=AD?CE…………………………………………………………………5分

（3）解法一：如圖4，延長BO交DA的延長線于F，連結OA．

             ∵AD∥OC，

∴∠F=∠BOC=90°．

∵∠ABC=15°，

∴∠OBA=∠OBC－∠ABC=30°．

∵OA=OB，

∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°．

∴OF= OA．

∵AD∥OC，

∴△BOC∽△BFD．

∴．

∴=2，即的值為2．………………………………7分

解法二：作OM⊥BA于M，設⊙O的半徑為r，可得BM=,OM=,∠MOE=30°，

        ME=OM?tan30°=，BE=，AE=，所以=2．

25．解：(1) ∵?物線與x軸交于點A(x₁，0)、B(x₂，0)，

       ∴x₁、x₂是關于x的方程-的解.

           方程可化簡為x²+2(a－1) x +(a²－2a)=0.

解方程，得x=-a或x=-a+2.

∵x_1­＜x₂,-a＜-a+2，……………………………………………………………1分

∴x₁=－a，x₂=－ a+2

∴A、B兩點的坐標分別為A(－a，0),B(－a+2,0)……………………………2分

(2) ∵AB=2，頂點C的縱坐標為，……………………………………………3分

   ∴△ABC的面積等于.………………………………………………………4分

(3) ∵x_1­＜1＜x₂，   ∴－a＜1＜－a+2.

    ∴－1＜a＜1.…………………………………………………………………5分

∵a是整數(shù)，

∴a=0，所求?物線的解析式為y=－x²+2x.………………………6分

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第5頁(共6頁)

        解一：此時頂點C的坐標為C(1，).如圖5，

作CD⊥AB于D，連結CQ. 則AD=1，

CD=，tan∠BAC.∴∠BAC=60°.

由?物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形.

由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN

的中點為Q可得，點M、N分別在AC和BC

邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，C、Q、

P三點共線，且PQ=PC.…………………………7分

∵點P線段AB上運動的過程中， P與A、B兩點不重合，

  DC≤PC＜AC，DC=， AC=2，

∴≤PQ＜1.……………………………………………………………8分

解二:設點P的坐標為P(x,0)(0＜x＜2).如圖6，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁.                  

∵△APM和△BPN是等邊三角形，且都在x軸上方，

∴AM =AP=x，BN=BP=2－x，∠MAP=60°，∠NBP=60°.

∴AM₁=AM?cos∠MAB=，

  MM₁=AM?sin∠MAB=，

  BN₁=BN?cos∠NBP=，

  NN₁=BN?sin∠NBP=.

∴AN₁=AB－BN₁=.

∴M、N兩點的坐標分別為M（，），N（，）.

可得線段MN的中點Q的坐標為Q(,).

由勾股定理得PQ=.……………7分

∵點P在線段AB上運動的過程中，P與A、B兩點不重合，0＜x＜2，

∴3≤(x-1)²+3＜4. ∴≤PQ＜1.……………………………………8分

西城區(qū)初三數(shù)學試卷答案及評分參考第6頁(共6頁)