本專題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一 ，也是高考考查的熱點(diǎn)。高考中著重考查運(yùn)算能力、邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。其中，選擇題、填空題突出“小、巧、活”的特點(diǎn)，而解答題多以中、高檔題目出現(xiàn)。透析近年高考試題，本專題的命題熱點(diǎn)為：等差，等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用；利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系解題；數(shù)列的求和問題；遞推數(shù)列問題；數(shù)列應(yīng)用問題；數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式的綜合問題；數(shù)列與平面解析幾何的綜合問題，等等。

例1．?dāng)?shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式．

解：（I），，，

因?yàn)?sub>，，成等比數(shù)列，所以，解得或．

當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，故．

（II）當(dāng)時(shí)，由于，，…………，，

所以．

又，，故．當(dāng)時(shí)，上式也成立，

所以

例2．若都是各項(xiàng)為正的數(shù)列，對任意的正整數(shù)都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列。

（1）試問是否是等差數(shù)列？為什么？

（2）求證：對任意的正整數(shù)成立；

（3）如果，求。

解：依題意……①有  ……②

（1）∵，∴由②式得從而時(shí)，

代入①，∴∴是等差數(shù)列。

（2）因?yàn)?sub>是等差數(shù)列∴∴

（3）由及①②兩式易得∴的公差

∴∴………………③

又也適合③、∴

∴  ∴

變式：

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1－a_n，(n∈N^*) 

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜，求S_n；

(3)設(shè)b_n=(n∈N^*)，T_n=b₁+b₂+……+b_n(n∈N^*)，是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

解  (1）由a_n+2=2a_n+1－a_na_n+2－a_n+1=a_n+1－a_n可知{a_n}成等差數(shù)列，d==－2，∴a_n=10－2n

(2)由a_n=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=－n²+9n，

當(dāng)n＞5時(shí)，S_n=n²－9n+40，故S_n=

(3)b_n=

要使T_n＞總成立，需＜T₁=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7 

例1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，滿足條件，其中b>0且b1。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；(2)若對，試求b的取值范圍。

解：(1)由已知條件得

當(dāng)n=1時(shí)，，故

(2)由

例2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）令，①當(dāng)為何正整數(shù)值時(shí)，：②若對一切正整數(shù)，總有，求的取值范圍。

解：（1）令，，即，由

  ∵，∴，

即數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列， ∴

 （2）①，即   ②∵，又∵時(shí)，

∴各項(xiàng)中數(shù)值最大為，∵對一切正整數(shù)，總有恒成立，因此

變式：

1．在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即。

2．設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，，且，，．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．

解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?sub>，所以． ……①于是． ………②

由②－①得：．……………③于是．………………④

由④－③得：．……………⑤即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．由③有，所以，

而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）

例1. 如圖，將圓分成個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）與的關(guān)系式；

（Ⅲ）數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明。

解：（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù) ， 當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù) ，

當(dāng)時(shí)，不同的染色方法種數(shù) ， 當(dāng)時(shí)，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形

∴不同的染色方法種數(shù) 。

（Ⅱ）依次對扇形區(qū)域染色，不同的染色方法種數(shù)為，其中扇形區(qū)域1與不同色的有種，扇形區(qū)域1與同色的有種。∴

（Ⅲ）∵

∴    ……………… ，

將上述個(gè)等式兩邊分別乘以，再相加，得

，

∴，從而。

證明：當(dāng)時(shí)，  當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

 ，

故

例2. 在數(shù)列中，，，．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．

解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得，．

又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅲ）對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．

變式：

數(shù)列記

（1）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和

解：（1）

整理得

（2）由

所以

例1. 若函數(shù)，數(shù)列 成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；

(2)若，令，求數(shù)列前項(xiàng)和；

(3)在(2)的條件下對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：(1) 由求得，所以，得.

(2) ，

，錯(cuò)位相減得

(3) ，則為遞增數(shù)列. 中的最小項(xiàng)為，.

例2． 設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足關(guān)系式: 3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0，n=2，3，4…)

(1)求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f(t)，作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，b_n=f()(n=2，3，4…)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

(3)求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

解  (1)由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t ∴a₂=

又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                 ①

3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                  ②

①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0

∴，n=2，3，4…，所以{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列；

(2)由f(t)= =，得b_n=f()=+b_n－1?

可見{b_n}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，于是b_n=1+(n－1)=；

(3)由b_n=，可知{b_2n－1}和{b_2n}是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b_2n=，

∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1?

=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)

=－ (b₂+b₄+…+b_2n)=－?n(+)=－ (2n²+3n)

變式：

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上．

（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m.

解：（1）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax²+bx (a≠0) ，則 f`(x)=2ax+b，由于f`(x)=6x－2，得

a=3 ，b=－2， 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n²－2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（2）由（1）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m，必須且僅須滿足≤，

即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

題型五、數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式綜合問題

例1．已知函數(shù)f(x)=

（1）求f(x)的反函數(shù)f^－1 (x)的表達(dá)式；

（2）數(shù)列中，a₁ =1；a_n =f^－1 (a_n－1)(nÎN，n≥2)，如果b_n =(nÎN)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；

（3）如果g(n)=2S_n－17n，求函數(shù)g(x) (xÎR)在區(qū)間[t，t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表達(dá)式。

解：（1）

  ∴f^－1 (x)=

（2）

∴  ∴

是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列    

（3）g(n)=2Sn－17n=n²－16n    xÎR

∴g(x)函數(shù)圖像是以頂點(diǎn)M（8，－64）且開口向上的拋物線

(i)當(dāng)t>8時(shí)，g(x)在[t，t+2]上是增函數(shù)    ∴h(t)=g(t)=t²－16t

(ii)當(dāng)t+2<8時(shí)，g(x)在[t，t+2]是減函數(shù)    ∴h(t)=g(t+2)=t²－12t－28

(iii)當(dāng)6≤t≤8時(shí)    h(t)=g(8)=－64

∴

例2. 函數(shù)的反函數(shù)為，數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：，

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）記，若對任意的，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：（1）∵，∴，

∴，即，

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

∴，即。由于，

    ∴

    兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，即， 

    它對也適合，∴              

（2）

    ，得  

    ①，

      ∴，

②，

，∴∴  

由①②可得，對一切都有的的取值范圍為

變式：

已知，，數(shù)列滿足，， ．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； 

（Ⅱ）當(dāng)n取何值時(shí)，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（I）∵，，，

∴． 即．

又，可知對任何，，所以．

∵， ∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．

（II）由（I）可知=  （）．

 ∴． ．

 當(dāng)n=7時(shí)，，；當(dāng)n<7時(shí)，，；當(dāng)n>7時(shí)，，．

∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，取最大值，最大值為．

（III）由，得       （*）

依題意（*）式對任意恒成立，

①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．

②當(dāng)t<0時(shí)，由，可知（）．而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因此t<0不合題意．

③當(dāng)t>0時(shí)，由（），∴　∴．    （）

設(shè)     （）

∵ =，

∴．∴的最大值為．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

題型六、數(shù)列應(yīng)用問題

例1. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：

1998年

1999年

2000年

新植畝數(shù)

1000

1400

1800

沙地畝數(shù)

25200

24000

22400

而一旦植完，則不會(huì)被沙化。問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少？（2）到那一年可綠化完全部荒沙地？

解：（1）由表知，每年比上一年多造林400畝. 因?yàn)?999年新植1400畝，故當(dāng)年沙地應(yīng)降為畝，但當(dāng)年實(shí)際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化土地為200畝. 同理2000年沙化土地為200畝.所以每年沙化的土地面積為200畝

（2）由(1)知，每年林木的“有效面積”應(yīng)比實(shí)造面積少200畝.

設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為、、、…，則n年造林面積總和為：

由題意： 化簡得解得

故8年，即到2007年可綠化完全部沙地.

變式：

某公司按現(xiàn)有能力，每月收入為70萬元，公司分析部門測算，若不進(jìn)行改革，入世后因競爭加劇收入將逐月減少．分析測算得入世第一個(gè)月收入將減少3萬元，以后逐月多減少2萬元，如果進(jìn)行改革，即投入技術(shù)改造300萬元，且入世后每月再投入1萬元進(jìn)行員工培訓(xùn)，則測算得自入世后第一個(gè)月起累計(jì)收入T_n與時(shí)間n（以月為單位）的關(guān)系為T_n=an+b，且入世第一個(gè)月時(shí)收入將為90萬元，第二個(gè)月時(shí)累計(jì)收入為170萬元，問入世后經(jīng)過幾個(gè)月，該公司改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入．

解：入世改革后經(jīng)過n個(gè)月的純收入為萬元，不改革時(shí)的純收入為                  

又

由題意建立不等式   

即 

答：經(jīng)過13個(gè)月改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入． 

題型七、數(shù)列與平面解析幾何綜合問題

例1. 設(shè)是兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).

（1）對若三點(diǎn)共線，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{}滿足：，其中是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列.求證：點(diǎn)列(1，在同一條直線上，并求出此直線的方程.

解：（1）因三點(diǎn)共線，  

得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為  

（2）由題意  

由題意得

當(dāng)時(shí)，

.當(dāng)n=1時(shí)，，也適合上式，

因?yàn)閮牲c(diǎn)的斜率為常數(shù)

所以點(diǎn)列（1，在同一條直線上， 且方程為，即.

例2. 已知曲線y=，過曲線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作切線。

（I）求證：直線與曲線y=交于另一點(diǎn)；

（II）在（I）的結(jié)論中，求出的遞推關(guān)系。若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（III）在（II）的條件下，記，問是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式m<R_n<M對一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請說明理由。

解：（I）y′=

（II） 

（III）①  ②

②－①得：

 ，此時(shí)M=2，m=0

變式：

由坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線引切線，切于O以外的點(diǎn)P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點(diǎn)P₂），如此進(jìn)行下去，得到點(diǎn)列{ P_n}.

求：（1）的關(guān)系式；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式

解：（1）由題得，過點(diǎn)P₁（的切線為

過原點(diǎn)

又過點(diǎn)P_n（的

因?yàn)?sub>過點(diǎn)P_n-1（   

整理得

（2）由（I）得 所以數(shù)列{x_n-a}是以公比為的等比數(shù)列

反饋練習(xí)：

1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么這個(gè)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依照原來的順序構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ B  ）

       A．                        B．

       C．                        D．

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3n-2n² (n∈N)，當(dāng)n>2時(shí)有（ D ）

    A．S_n>na₁>na_n    B．S_n< na_n<na₁   C．na₁<S_n<na_n   D．na_n<S_n<na₁

3．已知數(shù)列中，，那么等于（ B ）

              A、－495             B、765                 C、1080        D、3105

4．等差數(shù)列的通項(xiàng)，則由所確定的數(shù)列的前n項(xiàng)和是（  C  ）

  A．           B．          C．          D．

5．等差數(shù)列，=－5，它的前11項(xiàng)的算術(shù)平均值為5。若從中抽去一項(xiàng)，余下10項(xiàng)的算術(shù)平均值為4，則抽去的是（ D  ）

    A．    B．    C．    D．

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n?a_n?1（n≥2），a₁=a，a₂=b，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則下列結(jié)論正確的是（ A   ）.

（A）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=2b?a        （B）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=2b?a

（C）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=b?a         （D）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=b?a

7．設(shè)數(shù)列滿足且  等于（  D  ）

              A、100a      B、100a²          C、101a¹⁰⁰    D、100a¹⁰⁰

8.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（　D�。�

A．2             B．3            C．4         D．5

9．若兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(nÎN)，則的值等于

10．已知等差數(shù)列的第2項(xiàng)是8，前10項(xiàng)和是185，從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，……，第項(xiàng)，依次排列一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=

11．對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是 2ⁿ⁺¹-2

12．?dāng)?shù)列中，       

13．已知函數(shù)f(x)= (x<－2)

(1)求f(x)的反函數(shù)f^-－1(x)；

(2)設(shè)a₁=1， =－f^－-1(a_n)(n∈N^*)，求a_n；

(3)設(shè)S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數(shù)m，使得對任意n∈N^*，有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

解  (1)設(shè)y=，∵x<－2，∴x=－，即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差為4的等差數(shù)列，

∵a₁=1， =+4(n－1)=4n－3，∵a_n>0，∴a_n= 

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=，由b_n<，得m>，

設(shè)g(n)= ，∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數(shù)，∴g(n)的最大值是g(1)=5，

∴m>5，存在最小正整數(shù)m=6，使對任意n∈N^*有b_n<成立 

14．已知數(shù)列，滿足，，且（）

（I）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式．

解：（Ｉ）由題設(shè)得，即（）

易知是首項(xiàng)為，公差為２的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．

（II）由題設(shè)得，令，則．

易知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為．

由解得， 求和得．

15. 若數(shù)列為等差數(shù)列，每相鄰兩項(xiàng)，分別為方程的兩根.

(1)    求的通項(xiàng)公式；

(2)    求；

(3)    對于以上的數(shù)列｛a_n｝和｛c_n｝，整數(shù)981是否為數(shù)列｛｝中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說明理由.

解：(1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得  

由 得      

由   

(2)      

(3)       

∵n是正整數(shù)， 是隨n的增大而增大，

又＜981，＞981   ∴ 整數(shù)981不是數(shù)列｛｝中的項(xiàng).

16.已知函數(shù)且任意的、都有

 （1）若數(shù)列

 （2）求的值.

解：（1）  ，

而

 （2）由題設(shè)，有

又得上為奇函數(shù).  由

得  

于是

故