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解:(1)由題意,
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即:橢圓方程為
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綜上可知,.故四邊形面積的最大值為4,最小值為. 3(漢沽一中2008~2009屆月考文20).(本小題滿分14分) 如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
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(1)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ,證明
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(2)設(shè)直線AB的方程是x―2y+12=0,過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.
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20、解(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線AB的方程為,
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代入拋物線方程得: …………… ①
…………………2分 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2),則x1、x2是方程①的兩根.
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所以
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由點(diǎn)P(0,m)分有向線段所成的比為,
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得, 即…………………4分 又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn),
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故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,--m),從而
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=
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=
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=
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=
=0,
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所以………………………………………………………7分
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(Ⅱ) 由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6,9)、(--4,4).
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所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為.…………………………9分
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設(shè)圓C的方程是,
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則 ……………………………11分
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解之得 …………………13分
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所以圓C的方程是.………………………………………………14分 4(2009年濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考理21).(本小題滿分14分)
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設(shè)上的兩點(diǎn),
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短軸長為2,為坐標(biāo)原點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c),(c為半焦距),求直線AB的斜率k的值; (Ⅲ)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由
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解:(Ⅰ)
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橢圓的方程為 ……………………3分
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(Ⅱ)由題意,設(shè)AB的方程為
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由已知得:
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……7分
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又
在橢圓上,所以
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所以三角形的面積為定值……………………9分 (2).當(dāng)直線AB斜率存在時:設(shè)AB的方程為y=kx+b
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……………………10分
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………………………………………12分
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所以三角形的面積為定值. ………………………………………14分 5(本小題滿分14分)
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(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
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解: (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意,有
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.
………………… 3分 化簡并整理,得
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.
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(Ⅱ)解法一:依題意,直線過點(diǎn)且斜率不為零,故可設(shè)其方程為, …………………………………………………………………………6分 由方程組
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消去,并整理得
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設(shè),,則
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,………………………………………………………
8分
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∴
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∴,
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,
…………………………………………… 10分
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(1)當(dāng)時,;
…………………………………………… 11分
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(2)當(dāng)時,
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.
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.
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且 .
………………………………………… 13分
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解法二:依題意,直線過點(diǎn)且斜率不為零.
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(2)
當(dāng)直線的斜率存在且不為零時,設(shè)直線方程為, …………7分 由方程組
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消去,并整理得
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設(shè),,則
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,………………………………………………………
8分
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∴
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,
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,
………………… 10分
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.
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.
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且 .
………………………………………… 13分
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(II)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,16),M、N是曲線C上的兩個動點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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解:(I)設(shè)P(x,y),因?yàn)锳、B分別為直線和上的點(diǎn),故可設(shè)
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,.
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∵,
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∴∴………………………4分
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又,
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∴.……………………………………5分
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∴.
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即曲線C的方程為.………………………………………6分
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(II) 設(shè)N(s,t),M(x,y),則由,可得(x,y-16)= (s,t-16).
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故,.……………………………………8分 ∵M(jìn)、N在曲線C上,
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∴……………………………………9分
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消去s得 .
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由題意知,且,
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解得 .………………………………………………………11分
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又 , ∴.
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解得
().
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故實(shí)數(shù)的取值范圍是().………………………………13分 7(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(文)三模22). (本小題滿分14分)
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已知點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸正半軸上,點(diǎn)M在直線PQ上,且
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又。 (1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時,求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
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解:(1)設(shè)
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由得(2分)
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∴ ,即(4分)
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由
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∴ (6分)
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由N是AB的中點(diǎn) ∴ (8分)
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又由已知
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∴
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令,則
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雙
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綜合 ∴ (14分) 8(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模22). (本小題滿分14分)
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(1)證明:對任意的實(shí)數(shù),一定存在以y軸為對稱軸且經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線C,并求出拋物線C的方程;
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(2)對(1)中的拋物線C,若直線與其交于M、N兩點(diǎn),求 ∠MON的取值范圍。
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解:(1)由已知設(shè)①
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又設(shè)拋物線②
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由①②得(2分)
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設(shè),則
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由弦長公式得
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(4分)
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∴
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而,所以
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即拋物線方程為(6分)
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(2)設(shè)
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由
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而
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令,則ON到OM的角為,且滿足
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(9分)
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∴
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∴ (12分)
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則(13分)
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又時,
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∴ (14分)
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